Решение. Игра в квадраты (#116)
Ответ: первый игрок
Решение
Рассмотрим сразу общий случай m x n. Возможны варианты:
0. n = 1. Вырожденный случай. m — чётно, победа за вторым, иначе — за первым.
1. m ≥ n > 1, m — чётно:
1.1. n — нечётно (как раз случай 19 x 94). Первый игрок закрашивает квадрат размера (n-1) x (n-1) посередине относительно оси симметрии вдоль короткой стороны (см. рисунок).
После чего первый игрок отвечает на ходы второго игрока симметричным образом относительно упомянутой оси (это всегда можно сделать после правильного первого хода). Таким образом, последний ход всегда будет за первым игроком.
1.2. n — чётно. Случай аналогичен предыдущему, только закрашивается квадрат n x n. Выигрывает первый игрок.
2. m ≥ n > 1, m — нечётно:
2.1. n — нечётно. Опять выигрывает первый игрок. Приведём немного другую стратегию, хотя можно адаптировать и предыдущие варианты. Первый игрок закрашивает клетку, которая стоит ровно в центре прямоугольника. Далее на ходы второго игрока первый отвечает центрально-симметричным образом (см. рисунок).
2.2. n — чётно:
2.2.1. m = n + 1 (например, 20 х 21). Первый игрок закрашивает квадрат n x n, и игра сводится к случаю 0. Выигрывает первый игрок.
2.2.2. m > n + 1. Этот случай предлагается разобрать читателю (мы пока не знаем решение).
