Решение. Уроборос (#81)
Рассмотрим произвольное число
ak⸱10ᵏ + ak-₁⸱10ᵏ⁻¹ + … a₁⸱10+ a₀
После применения к нему операции получаем число
ak-₁⸱10ᵏ⁻¹ + … a₁⸱10 + a₀ + ak
Разность их равна
ak⸱10ᵏ - ak = ak⸱ (10ᵏ - 1)
которая, как легко заметить, делится на 3. Следовательно, операция над числом не меняет остаток при делении его на 3 (другими словами, остаток при делении на 3 — это инвариант операции).
Обратим внимание, что число 2²⁰¹⁹ не делится на 3, а 10-значное число, в котором все цифры разные, делится на 3. Таким образом, 10-значное число должно обязательно иметь две одинаковые цифры.
Примечание: получение 10-значного числа в результате операций дано по условию. Без этой информации требовалось бы проверить корректность вопроса, а именно действительно ли в процессе последовательных преобразований возможно получить 10-значное число. Например, из числа 10²⁰¹⁹ по правилам задачи невозможно получить 10-значное число, так как после первого же применения операции получается число 1.
